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Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
1.
Considere la función coseno hiperbólico \[\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\] definida sobre todo $\mathbb{R}$.
b) Utilice un graficador. Halle a simple vista el valor de $c$ cuya existencia asegura la tesis del teorema y luego encuentre ese valor analíticamente.
b) Utilice un graficador. Halle a simple vista el valor de $c$ cuya existencia asegura la tesis del teorema y luego encuentre ese valor analíticamente.
Respuesta
Espero que tengas abierto GeoGebra en la otra pestaña y ya estés graficando $f(x) = \cosh(x)$.
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Pensá en algún intervalo de la forma $[-a,a]$, ¿cuál sería? no sé, por ejemplo $[-1,1], [-5,5]$, el que quieras...
Ahora, mirá fijo la función y decime en qué punto la derivada se anula... o en otras palabras, en qué punto la pendiente de la recta tangente vale cero.
Eso está ocurriendo en $x=0$, no? Mirá:
En $x=0$ vemos que la pendiente de la recta tangente a $f$ se anula, que era justamente lo que nos aseguraba Rolle, que ibamos a encontrar algún punto para el cual la derivada (la pendiente de la recta tangente) valiera cero.
Ahora que ya vimos que el $c$ que verifica que $\sinh(c) = 0$ es $c=0$, probémoslo analíticamente.
$\sinh(c) = \frac{1}{2}\left(e^{c} - e^{-c}\right) = 0$
Despejamos...
$e^c - e^{-c} = 0$
$e^c = e^{-c}$
$c = -c$
$2c = 0$
$c = 0$
Efectivamente, en $c=0$ la derivada se anula, como ya habíamos visto en el gráfico ;)